El puzzle diario que salió de un teorema del siglo XIX

Juan Miguel Céspedes Naveros · Read this in English

Hace años leí un artículo que explicaba por qué funciona el Dobble, el juego de cartas en el que dos cartas cualesquiera comparten un símbolo y solo uno. Lo primero que intenté sacar de ahí fue un juego tipo liminal: recorres habitaciones y tienes que dar con el objeto que ha desaparecido, o con el que está repetido. No conseguí llevarlo a buen puerto y lo dejé estar.

Este verano un amigo me preguntó qué ideas tenía entre manos y aquello volvió, pero por otro lado. Un alquimista que recibe encargos y tiene que resolverlos con materiales que contengan ciertas esencias, combinándolos a prueba y error hasta averiguar cuál lleva qué. Y de ahí, ya al final, la idea que se quedó: que igual todo eso era un puzzle tipo sudoku, con huecos que rellenar. De ahí salió Grimoku.

Debajo del Dobble hay un plano proyectivo finito. Son unas matemáticas que quedaron cerradas en el siglo XIX, mucho antes de que hubiera una máquina con la que comprobarlas. Esto es lo que pasó cuando las puse en un tablero.

Una geometría donde nada es paralelo

TL;DR: el tablero son unas matemáticas viejas escritas en forma de tabla, y las tres reglas que el juego enseña en pantalla bastan para reconstruir esa tabla desde cero. Esta sección son las matemáticas, y si has llegado desde el juego es la parte que lo destripa. Si prefieres ir al grano, salta a cómo se convierte en tablero.

Acuérdate de la geometría del colegio, puntos y rectas. Hay una regla que se cumple siempre. Si eliges dos puntos, hay una recta que pasa por los dos, y solo una.

Con las rectas hay una regla parecida, pero falla. Dos rectas casi siempre se cortan en un punto. Pero si son paralelas no se tocan nunca, por mucho que las alargues. Así que no puedes decir "dos rectas se cortan siempre en un punto", porque las paralelas lo estropean.

Pues resulta que hay geometrías donde eso no pasa. En ellas no existen las paralelas, y dos rectas cualesquiera se cortan siempre en un punto. Se llaman geometrías proyectivas, y la idea viene de la perspectiva. Piensa en unas vías de tren. En el suelo son paralelas, pero cuando las dibujas en un papel se van juntando hasta tocarse en un punto del horizonte.

Hay muchos planos proyectivos distintos. El que sale primero en los libros se construye a partir del plano normal, una hoja infinita que sigue y sigue en todas direcciones. A esa hoja le añades puntos nuevos en el horizonte. Cada familia de rectas paralelas recibe un punto suyo, donde por fin se encuentran todas, como las vías en el dibujo. Y esos puntos nuevos, todos juntos, forman una recta más, la recta del horizonte.

Pero también hay planos proyectivos finitos. Finito quiere decir eso mismo, un número concreto de puntos y de rectas, todo cabe en un dibujo y fuera no hay nada más. Y aun así ahí dentro tampoco quedan paralelas, dos rectas siempre se cruzan. Esos eran los que me interesaban a mí.

Y lo más probable es que ya tengas uno en un cajón, porque el Dobble es justo eso. Las cartas son las rectas y los símbolos son los puntos. Decir que dos cartas comparten un símbolo y solo uno es exactamente la misma frase que decir que dos rectas se cortan en un punto y solo uno. Ocho símbolos por carta, 57 símbolos distintos en el juego, y la geometría da para 57 cartas, aunque el mazo que venden trae 55.

Ese es de los grandes, pero el más pequeño que merece la pena mirar es el plano de Fano. Siete puntos y siete rectas, y ahí se acaba el mundo entero. Cada recta pasa por exactamente tres puntos y cada punto está en exactamente tres rectas. Y luego está la regla de la que cuelga todo lo demás, que si coges dos puntos cualesquiera hay exactamente una recta que pasa por los dos, ni dos ni ninguna.

La circunferencia es lo que despista a todo el mundo. Si esto va de rectas, ¿qué pinta ahí una redonda?

La respuesta es que aquí "recta" no significa raya recta. Una recta es un grupo de tres puntos que van juntos, y ya está. Esta geometría no mide distancias ni ángulos, y sobre todo no distingue lo recto de lo curvo. Lo único que le importa es qué puntos van con cuáles.

El dibujo es solo una manera de colocar los siete puntos en la hoja para verlos todos a la vez, y ahí pasa una cosa curiosa, porque este sistema no se puede dibujar con siete rayas rectas. Pongas los puntos como los pongas, siempre hay una recta que te toca dibujar curvada, y en el dibujo de siempre la curvada es esa. Para la geometría, la circunferencia es sencillamente la recta que junta el 2, el 3 y el 5, igual que el lado de abajo es la que junta el 4, el 5 y el 6.

Gino Fano escribió la geometría en 1892. La combinatoria viene de antes, porque Thomas Kirkman ya había averiguado en 1847 qué tamaños puede tener un sistema de tripletas así, y con siete puntos solo hay uno, salvo cambiarle los nombres. Los dos hacían matemática pura. Ninguno tenía ningún motivo para pensar en una cuadrícula que se toca con el dedo.

De la geometría a una cuadrícula

Aquí está el paso que lo convierte en juego. Tira el dibujo y limítate a anotar quién toca a quién. Numera los siete puntos arriba, dale a cada recta una fila para ella sola, y pon una marca donde esa recta pase por ese punto.

A esa tabla los matemáticos la llaman matriz de incidencia. Para el plano de Fano es de 7 por 7, con tres marcas en cada fila y, como cada punto está en tres rectas, tres también en cada columna.

Así que escondí la geometría y le di al jugador la cuadrícula. Los materiales y las esencias ya venían puestos de la idea del alquimista, así que las filas pasaron a ser materiales, las columnas esencias, y una marca quiere decir que esos dos van juntos. No ves un punto ni una recta en ningún momento. Ves un tablero y tres reglas:

• Cada fila tiene exactamente tres marcas.
• Cada columna tiene exactamente tres marcas.
• Cada par de filas comparte exactamente una columna marcada en las dos.

Algunas casillas vienen ya puestas. Lo demás es cosa tuya.

Tres reglas y una única solución

Este es el dato que me convenció de que ahí había un juego. Esas tres reglas no describen el plano de Fano, lo obligan.

Una cuadrícula de 7 por 7 en la que filas y columnas llevan tres marcas, y en la que cada par de filas coincide en exactamente un sitio, no puede ser otra cosa que la matriz de incidencia del plano de Fano. Solo hay un objeto así, salvo cambiarle los nombres. Es el único diseño 2-(7,3,1), y las tres reglas de andar por casa que pongo en pantalla bastan para fijarlo del todo.

Para quien diseña puzzles esto es un regalo. Cada tablero que publico es ese mismo objeto con los nombres barajados, o sea que la respuesta hacia la que camina un jugador la fijó un teorema y no mis pruebas. Lo que sí me toca comprobar es la otra mitad, que las casillas que dejo puestas basten para llevarle hasta ella. El jugador no necesita saber nada de geometría. Sigue tres reglas que entendería un niño y la deducción le lleva al único tablero que las cumple. Nunca hace falta adivinar, y nunca está permitido. Cualquier puzzle decente del género promete eso. Aquí no tengo que cumplirlo a mano, porque me lo cumplen las matemáticas.

El secreto que no les cuento a los jugadores

El plano cumple una propiedad más que las tres reglas no mencionan, y la dejo fuera a propósito. Los tableros más difíciles están hechos para que no puedas terminarlos hasta que la descubres tú solo.

No la voy a escribir aquí, porque ver a la gente encontrarla ha sido lo mejor de todo el proyecto. Alguien se queda callado, mira el tablero, y de pronto algo encaja y termina el resto de carrerilla. A uno le pasó, y desde ese día cada tablero difícil le duró menos. Ese momento de descubrir una ley que nadie te ha contado es lo que estoy construyendo en realidad. La geometría solo lo hace posible.

Donde más cerca estuve de destriparlo fue con una idea de una persona que lo estaba probando. Me mandó una forma más limpia de enunciar la regla tres, y tenía razón, se entiende mejor que la mía y le he dado vueltas desde entonces. El problema es que su enunciado es correcto, y justo por eso no lo puedo usar. Quien lo lee se lleva la propiedad entera de una sentada, sin haber jugado una sola partida. Me quedo con el mío, que es más torpe pero guarda mejor el secreto.

La dificultad me salió mal

Cualquier puzzle de lógica parece tener una ruedecita evidente para la dificultad. Quitas pistas y se pone más difícil. Lo publiqué así y no funciona.

Acabé midiéndolo, y un tablero que yo había etiquetado como Maestro resultaba trivial más o menos el doce por ciento de las veces, así que la etiqueta no te decía nada sobre lo que te ibas a encontrar. Además esta cuadrícula tiene un suelo, porque si quitas más allá de una docena de casillas puestas ya no queda una única solución que encontrar, así que la ruedecita se acaba antes de que el tablero llegue a ponerse difícil. Más difícil no es lo mismo que más vacío. Lo que hace difícil un tablero es el tipo de razonamiento que te exige.

Así que tiré el contador de pistas y escribí un solucionador que razona igual que una persona. Empieza por lo más fácil y solo sube de técnica cuando se atasca, y la etiqueta de cada tablero es la más difícil que le ha hecho falta para terminarlo. La generación va del revés. El programa construye un tablero válido y lo va vaciando, y después de cada corte comprueba que la solución siga siendo única y que la lógica pura siga bastando para llegar a ella. Los que no caen en el nivel que he pedido se descartan.

Lo que más me gusta de haberlo hecho así es que cada nivel te enseña una manera distinta de mirar el tablero. En Aprendiz te llega con contar, porque si una fila ya tiene sus tres marcas, todo lo que queda de esa fila son cruces. En Adepto tienes que darle la vuelta y ver que a una marca ya solo le queda un hueco donde caber, aunque nadie te lo esté señalando. Y en Maestro no hay forma de terminar sin la propiedad de la que no hablo. Cada nivel da por hecho que traes puesto el anterior.

Ese último me costó una corrección que no vi venir. Un tablero de Maestro se podía sacar probando, que es poner una marca a ver qué pasa, y luego otra, y otra, hasta que algo se rompe y entonces ya sabes que la primera estaba mal. Eso es deducción legítima y muchas veces es lo único que tienes a mano, pero se parece más a llevar la contabilidad que a descubrir nada.

Cuando lo medí me llevé un disgusto. De treinta y cuatro tableros de Maestro, treinta y uno se dejaban sacar así, a base de probar, sin que el jugador llegara a enterarse nunca de que había una propiedad debajo. Y al que sí la había descubierto le tocaba hacer esas mismas pruebas hasta trece veces igual, con lo cual su hallazgo no le servía de gran cosa. El nivel estaba roto por los dos lados.

Ahora esos tableros van a la basura. Los de Maestro que publico se abren de arriba abajo en cuanto tienes la propiedad, sin probar ni una sola vez, y sin ella se te quedan a medias.

Por qué diario

Lo divertido de hacer puzzles hoy en día, desde el móvil y con internet, es poder compartirlos, con gente del otro lado del mundo o con los amigos de siempre. Por eso hay un tablero diario, el mismo para todos, y por eso puedes mandarle a un amigo un tablero suelto para ver quién lo saca antes. Si un día no puedes, los últimos treinta se quedan ahí esperando.

Hasta donde sé, no hay ningún otro puzzle que use este mecanismo, y ahí volvemos al Dobble. La estructura es la misma, pero en el Dobble el diseño ya está hecho y tú solo buscas una coincidencia dentro, y aquí te toca sacarlo entero.

He querido sacarlo gratis y sin anuncios, ahora y más adelante, porque quiero que juegues sin que nada te estorbe. Espero que haya sido un acierto.

Quién hay detrás

Llevo unos quince años haciendo juegos, sobre todo móvil y casual, y publico herramientas de Unity como Creative Spore. Grimoku lo saqué adelante porque la idea no me dejaba en paz. Y porque quería ver si un teorema del siglo XIX puede llegar a ser una costumbre.

Aunque solo no lo he hecho. Amigos y familia se han tragado versiones a medio hacer y me han dicho sin piedad lo que no se entendía. Muchas de sus ideas y de sus consejos eran mejores que los míos, y ahí siguen, dentro del juego. Si algo de lo que ves te parece un acierto, es muy posible que no se me ocurriera a mí. Gracias de verdad.